Sisu

• Sammud
• Nõuanne

Kiirus on määratletud kui objekti kiirus antud suunas. Paljudel juhtudel kasutame kiiruse leidmiseks võrrandit v = s / t, kus v on kiirus, s on objekti nihke kogu kaugus algsest asendist ja t on objekti liikumiseks kuluv aeg. mine kogu tee. Kuid teoreetiliselt on see valem ainult kiiruse jaoks keskmine asjadest teel. Arvutades objekti kiiruse igal ajahetkel piki vahemaad. See on Transpordiaeg ja on määratletud võrrandiga v = (ds) / (dt)ehk teisisõnu, see on keskmise kiiruse võrrandi tuletis.

Sammud

1. osa 3-st: arvutage hetkekiirus

1. 

   
   
   Alustage võrrandist kiiruse arvutamiseks nihkekauguse järgi. Hetkekiiruse leidmiseks peab meil kõigepealt olema võrrand, mis näitab objekti asukohta (nihke mõttes) igal ajahetkel. See tähendab, et võrrandil peab olema ainult üks muutuja S ühel küljel ja pöörake t Teisel pool (mitte tingimata ainult üks muutuja), näiteks:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   • Selles võrrandis on muutujad järgmised:

     s = nihe. Objekti algsest asendist kaugus. Näiteks kui objekt suudab kõndida 10 meetrit edasi ja 7 meetrit tahapoole, on selle kogu teekonna pikkus 10 - 7 = 3 meetrit (mitte 10 + 7 = 17m).

     t = aeg. See muutuja on lihtne ilma selgitusteta, tavaliselt mõõdetakse sekundites.

2. 

   
   
   Võtke võrrandi tuletis. Võrrandi tuletis on veel üks võrrand, mis näitab kauguse kallet kindlal ajal. Võrrandi tuletise leidmiseks nihkekauguse järgi võtke tuletise arvutamiseks järgmise funktsiooni diferentsiaal: Kui y = a * x, siis tuletis = a * n * x. See kehtib kõigi võrrandi t-poolsete terminite kohta.
   • Teisisõnu, hakake diferentsiaali vasakult paremale saama võrrandi t-poolel. Alati, kui kohtate muutujat "t", lahutate eksponendi 1-ga ja korrutate termini algse eksponendiga. Kõik konstantsed tingimused (ilma "t" -ta terminid) kaovad, kuna need korrutatakse nulliga. Protsess pole nii raske, kui võite arvata - võtame näiteks ülaltoodud sammu võrrandi:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     

3. 

   Asendage "s" sõnaga "ds / dt". Näitamaks, et uus võrrand on algse ruudu tuletis, asendame "s" sümboliga "ds / dt". Teoreetiliselt on see tähistus "s tuletis t mõistes". Lihtsam viis selle tähistuse mõistmiseks on ds / dt mis tahes algvõrrandi punkti kalle. Näiteks võrrandiga s = -1,5t + 10t + 4 kirjeldatud kauguse nõlva leidmiseks ajahetkel t = 5 asendame võrrandi tuletises t väärtusega "5".
   • Ülaltoodud näites näeb võrrandi tuletis välja selline:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   Hetkekiiruse leidmiseks asendage t väärtus uues võrrandis. Nüüd, kui meil on tuletisvõrrand, on hetkelise kiiruse leidmine igal hetkel väga lihtne. Kõik, mida peate tegema, on valida t-väärtus ja asendada see tuletisvõrrandiga. Näiteks kui tahame leida hetkelist kiirust t = 5, peame tuletisvõrrandis ds / dt = -3t + 10. asendama t lihtsalt väärtusega "5".
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 meetrit sekundis

   • Pange tähele, et me kasutame ülal olevat ühikut "meetrit sekundis".Kuna me lahendame probleemi veeväljasurvega meetrites ja aja sekundites ning kiirus on nihkumine ajas, sobib see ühik.
   reklaam

Osa 2/3: Hetkekiiruse hindamine graafiliselt

1. 

   Graafige objekti liikumise kaugus ajas. Eespool mainitud jaotises ütlesime, et tuletis on ka valem, mis võimaldab meil leida kalle tuletisest võetud võrrandi mis tahes punktis. Tegelikult, kui näitate objekti liikuvat kaugust graafikul, Graafi kalle mis tahes punktis on objekti hetkekiirus selles punktis.
   • Liikumiskauguste joonistamiseks kasutage x-telge aja jaoks ja y-telge nihutamiseks. Seejärel määrate punktide arvu, ühendades t väärtused liikumisvõrrandisse, tulemuseks on s väärtused ja punktid t, s (x, y) graafikul.
   • Pange tähele, et graafik võib ulatuda x-telje alla. Kui objekti liikumist näitav joon läheb mööda x-telge, tähendab see, et objekt liigub algsest asendist tahapoole. Üldiselt ei ulatu graafik y-telje taha - me ei mõõda tavaliselt ajas tagasi liikuvate objektide kiirust!

2. 

   Valige graafikult punkti P ja punkt Q, mis asub punkti P lähedal. Graafi kalle punktist P leidmiseks kasutame "piiride leidmise" tehnikat. Piiri leidmine tähendab kõvera kahe punkti (P ​​ja Q (punkt P lähedal asuva punkti)) võtmist ja neid kahte punkti ühendava joone nõlva leidmist, korrates seda protsessi, kui kaugus P ja Q lüheneb. järk-järgult.
   • Oletame, et nihkekaugusel on punktid (1; 3) ja (4; 7). Sel juhul, kui tahame leida nõlva punktist (1; 3), siis saame selle seada (1; 3) = P ja (4; 7) = Q.

3. 

   Leidke kalle P ja Q vahel. P ja Q vaheline kalle on P ja Q y väärtuste vahe P ja Q x väärtuste erinevusega. Teisisõnu: H = (y_Q - jah_P) / (x_Q - x_P), kus H on kahe punkti vaheline kalle. Selles näites on kalle P ja Q vahel:
   

   H = (y_Q - jah_P) / (x_Q - x_P)
   H = (7–3) / (4–1)
   H = (4) / (3) = 1,33

4. 

   Korrake mitu korda, liigutades Q P-le lähemale. Eesmärk on kitsendada P ja Q vahelist kaugust, kuni nad jõuavad ühe punktini. Mida väiksem on P ja Q vaheline kaugus, seda lähemal on lõpmatult väikese segmendi kalle punkti P. kallakule. Korrake meie näite võrrandi jaoks paar korda, kasutades punkte (2; 4 , 8), (1,5; 3,95) ja (1,25; 3,49) annavad Q ja P algkoordinaadid on (1; 3):
   

   Q = (2; 4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1,8) / (1) = 1,8
   
   Q = (1,5; 3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (0,95) / (0,5) = 1,9
   
   Q = (1,25; 3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (0,49) / (0,25) = 1,96

5. 

   Hinnab äärmiselt väikese segmendi kalle graafikõveral. Kui Q jõuab P-le lähemale ja lähemale, saab H järk-järgult lähemale P-i nõlvale. Lõpuks, väga väikese joone korral on H kalle P-s. Joone pikkus on äärmiselt väike, seega hinnake kallakut P-s ainult siis, kui see on meie arvutatud punktidest selgelt nähtav.
   • Ülaltoodud näites on H liikumisel P-le lähemal H väärtuseks 1,8; 1,9 ja 1,96. Kuna need arvud lähevad kahele lähemale, võime öelda 2 on P-i kalle ligikaudne väärtus
   • Pidage meeles, et graafi mis tahes punkti kalle on selle punkti graafi võrrandi tuletis. Kuna graafik näitab objekti nihet ajas, nagu nägime eelmises lõigus, on selle hetkekiirus mis tahes punktis tuletis objekti nihkekaugusest probleemipunktis. Juurdepääs, võime öelda 2 meetrit sekundis on hetkelise kiiruse ligikaudne hinnang, kui t = 1.
   reklaam

3. osa 3: Näidisprobleem

1. 

   Leidke hetkeline kiirus, kui t = 1, nihkevõrrandiga s = 5t - 3t + 2t + 9. Nagu näide esimeses jaotises, kuid see on ruutu asemel kuup, nii et saame probleemi samamoodi lahendada.
   • Kõigepealt võtke võrrandi tuletis:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Seejärel asendame t (4) väärtuse järgmises:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 meetrit sekundis

2. 

   Graafilise hindamise meetodi abil leidke nihkevõrrandi s = 4t - t hetkekiirus punktis (1; 3). Selle probleemi jaoks kasutame punktina P koordinaate (1; 3), kuid peame leidma teised selle lähedal asuvad Q-punktid. Siis peame vaid leidma H väärtused ja tuletama hinnangulise väärtuse.
   • Esiteks leiame Q punktid, kui t = 2; 1,5; 1.1 ja 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, seega Q = (2; 14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, nii et Q = (1,5; 7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1,1) - (1,1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, seega Q = (1,1; 3,74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, nii et see on kõik Q = (1,01; 3,0704)

   • Järgmisena saame H väärtused:
     

     Q = (2; 14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1,5; 7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4,5) / (0,5) = 9
     
     Q = (1,1; 3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (0,74) / (0,1) = 7,3
     
     Q = (1,01; 3,0704): H = (3,0704-3) / (1,01-1)
     H = (0,0704) / (0,01) = 7,04

   • Kuna H väärtused näivad olevat lähemal 7-le, võime seda öelda 7 meetrit sekundis on hetkelise kiiruse ligikaudne hinnang koordinaadil (1; 3).
   reklaam

Nõuanne

• Kiirenduse (kiiruse muutus ajas) leidmiseks kasutage nihkevõrrandi tuletise saamiseks esimese osa meetodit. Seejärel võtke äsja leitud tuletisvõrrandi jaoks tuletis uuesti. Tulemuseks on see, et teil on antud ajahetkel kiirenduse võrrand - piisab vaid aja ühendamisest.
• Y (nihkekaugus) ja X (aeg) suhet näitav võrrand võib olla väga lihtne, kuna Y = 6x + 3. Sellisel juhul on kalle konstantne ja seda pole vaja võtta derivaadi kalle arvutamiseks, see tähendab, et see järgib lineaarse graafi põhivõrrandi vormi Y = mx + b, st kalle võrdub 6-ga.
• Nihutuskaugus on nagu kaugus, kuid sellel on suund, seega on see vektor suurus ja kiirus on skalaarne suurus. Sõidudistantsid võivad olla negatiivsed, samas kui vahemaad võivad olla ainult positiivsed.