Sisu

• Sammud
• Meetod 1 /3: kuidas leida tundmatu pool
• Meetod 2/3: tundmatu nurga leidmine
• Meetod 3/3: prooviprobleemid
• Näpunäiteid

Kosinusteoreemi kasutatakse laialdaselt trigonomeetrias. Seda kasutatakse ebakorrapäraste kolmnurkadega töötamisel tundmatute koguste, näiteks külgede ja nurkade leidmiseks. Teoreem on sarnane Pythagorase teoreemiga ja seda on üsna lihtne meelde jätta. Kosinusteoreem ütleb, et mis tahes kolmnurgas ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

Sammud

Meetod 1 /3: kuidas leida tundmatu pool

1. 1 Kirjutage teadaolevad väärtused üles. Kolmnurga tundmatu külje leidmiseks peate teadma kahte ülejäänud külge ja nende vahelist nurka.
   • Näiteks antud kolmnurk XYZ. YX külg on 5 cm, YZ külg on 9 cm ja Y nurk on 89 °. Mis on XZ pool?
2. 2 Kirjutage koosinusteoreemi valem. Valem: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, kus ${ displaystyle c}$ - tundmatu pidu, ${ displaystyle cos {C}}$ - tundmatule küljele vastava nurga koosinus ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$ - kaks tuntud külge.
3. 3 Ühendage teadaolevad väärtused valemiga. Muutujad ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$ tähistavad kahte tuntud külge. Muutuja ${ displaystyle C}$ on teadaolev nurk, mis jääb külgede vahele ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$.
   • Meie näites on XZ pool tundmatu, nii et valemis tähistatakse seda kui ${ displaystyle c}$... Kuna küljed YX ja YZ on teada, tähistatakse neid muutujatega ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$... Muutuja ${ displaystyle C}$ on nurk Y. Niisiis, valem kirjutatakse järgmiselt: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 Leidke teadaoleva nurga koosinus. Tehke seda kalkulaatoriga. Sisestage nurga väärtus ja seejärel klõpsake ${ displaystyle COS}$... Kui teil pole teaduslikku kalkulaatorit, otsige näiteks veebist koosinustabel siit. Ka Yandexis saate sisestada "X -astme koosinus" (asendage X nurga väärtus) ja otsingumootor kuvab nurga koosinuse.
   • Näiteks koosinus on 89 ° ≈ 0,01745. Niisiis: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$.
5. 5 Korrutage numbrid. Korruta ${ displaystyle 2ab}$ tuntud nurga koosinuse abil.
   • Näiteks:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0,01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
6. 6 Voldi teadaolevate külgede ruudud kokku. Pidage meeles, et numbri ruutmiseks tuleb see korrutada iseenesest. Esmalt ruutuge vastavad numbrid ja lisage saadud väärtused.
   • Näiteks:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
7. 7 Lahutage kaks numbrit. Leiad ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • Näiteks:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1,5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 Võtke selle väärtuse ruutjuur. Selleks kasutage kalkulaatorit. Nii leiate tundmatu poole.
   • Näiteks:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     Niisiis, tundmatu külg on 10,2191 cm.

Meetod 2/3: tundmatu nurga leidmine

1. 1 Kirjutage teadaolevad väärtused üles. Kolmnurga tundmatu nurga leidmiseks peate teadma kolmnurga kõiki kolme külge.
   • Näiteks antud kolmnurk RST. Külg CP = 8 cm, ST = 10 cm, PT = 12 cm. Leidke nurga S väärtus.
2. 2 Kirjutage koosinusteoreemi valem. Valem: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$, kus ${ displaystyle cos {C}}$ - tundmatu nurga koosinus ${ displaystyle c}$ - tuntud külg tundmatu nurga vastas, ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$ - veel kaks kuulsat pidu.
3. 3 Leidke väärtused a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b} ja c{ displaystyle c}. Seejärel ühendage need valemiga.
   • Näiteks RT pool on tundmatu nurga S vastas, seega RT pool ${ displaystyle c}$ valemis. Teised erakonnad teevad seda ${ displaystyle a}$ ja ${ displaystyle b}$... Niisiis, valem kirjutatakse järgmiselt: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 Korrutage numbrid. Korruta ${ displaystyle 2ab}$ tundmatu nurga koosinuse abil.
   • Näiteks, ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 Püstine c{ displaystyle c} ruudus. See tähendab, et korrutage arv ise.
   • Näiteks, ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 Voldi ruudud kokku a{ displaystyle a} ja b{ displaystyle b}. Kuid kõigepealt ruuduge vastavad numbrid ruudukujuliseks.
   • Näiteks:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 Eraldage tundmatu nurga koosinus. Selleks lahutage summa ${ displaystyle a ^ {2}}$ ja ${ displaystyle b ^ {2}}$ võrrandi mõlemalt poolt. Seejärel jagage võrrandi mõlemad küljed tundmatu nurga koosinususe teguriga.
   • Näiteks tundmatu nurga koosinususe eraldamiseks lahutage võrrandi mõlemalt küljelt 164 ja jagage seejärel mõlemad küljed -160 -ga:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0,125 = cos {C}}$
8. 8 Arvutage pöördkoosinus. See leiab tundmatu nurga väärtuse. Kalkulaatoril on tähistatud pöördkoosinusfunktsioon ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • Näiteks arkosiin 0,0125 on 82,8192. Seega on nurk S 82,8192 °.

Meetod 3/3: prooviprobleemid

1. 1 Leidke kolmnurga tundmatu külg. Tuntud küljed on 20 cm ja 17 cm ning nendevaheline nurk on 68 °.
   • Kuna teile on antud kaks külge ja nendevaheline nurk, saate kasutada koosinusteoreemi. Kirjutage üles valem: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Tundmatu pool on ${ displaystyle c}$... Ühendage teadaolevad väärtused valemiga: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • Arvutama ${ displaystyle c ^ {2}}$, järgides matemaatiliste toimingute järjekorda:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0,3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254,7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • Võtke võrrandi mõlema poole ruutjuur. Nii leiate tundmatu külje:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     Niisiis, tundmatu külg on 20,8391 cm.
2. 2 Leidke nurk H kolmnurgast GHI. Nurgaga H külgnevad kaks külge on 22 ja 16 cm, nurga H vastaskülg on 13 cm.
   • Kuna kõik kolm külge on antud, saab kasutada koosinusteoreemi. Kirjutage üles valem: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Tundmatu nurga vastaskülg on ${ displaystyle c}$... Ühendage teadaolevad väärtused valemiga: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • Lihtsustage saadud väljendit:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • Eraldage koosinus:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • Leidke pöördkoosinus. Tundmatu nurga arvutamiseks toimige järgmiselt.
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     Seega on nurk H 35,7985 °.
3. 3 Leidke raja pikkus. Jõe-, mägi- ja sooteed moodustavad kolmnurga. Jõeraja pikkus on 3 km, Mägiraja pikkus 5 km; need rajad lõikuvad üksteisega 135 ° nurga all. Rabarada ühendab teiste radade kahte otsa. Leidke Rabaraja pikkus.
   • Rajad moodustavad kolmnurga. Peate leidma tundmatu tee pikkuse, mis on kolmnurga külg. Kuna ülejäänud kahe tee pikkused ja nendevaheline nurk on antud, saab kasutada koosinusteoreemi.
   • Kirjutage üles valem: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • Tundmatu tee (soo) tähistatakse kui ${ displaystyle c}$... Ühendage teadaolevad väärtused valemiga: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • Arvutama ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) ( - 0,7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - ( - 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • Võtke võrrandi mõlema poole ruutjuur. Nii saate teada tundmatu tee pikkuse:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     Niisiis, Rabaraja pikkus on 7,4306 km.

Näpunäiteid

• Siinusteoreemi on lihtsam kasutada. Seetõttu uurige kõigepealt, kas seda saab antud probleemile rakendada.