Faktori ruutvõrrandid

Sisu

Astuda
Algus
1. meetod 6-st: proovimine ja viga
2. meetod 6-st: lagunemine
3. meetod 6-st: kolmikmäng
4. meetod 6-st: kahe ruudu erinevus
Meetod 5/6: valem ABC
6. meetod 6-st: kalkulaatori kasutamine
Näpunäited
Hoiatused
Vajadused

Polünoom sisaldab muutuja (x) teatud võimsuse jaoks ja mitu mõistet ja / või konstandit. Polünoomi arvutamiseks peate avaldise jagama väiksemateks avaldisteks, mis korrutatakse kokku. Selleks on vaja teatud tasemel matemaatikat ja seetõttu võib sellest olla raske aru saada, kui te pole veel nii kaugel.

Astuda

Algus

Võrrand. Ruutvõrrandi standardvorming on järgmine:

kirves + bx + c = 0
Alustuseks korraldage oma võrrandis olevad tingimused kõrgemast madalamani. Võtke näiteks:

6 + 6x + 13x = 0
Korraldame selle väljendi ümber, nii et sellega on lihtsam töötada - lihtsalt tingimusi teisaldades:

6x + 13x + 6 = 0
Leidke tegurid ühe alloleva meetodi abil. Polünoomi arvutamisel saadakse kaks väiksemat avaldist, mille saab algse polünoomi saamiseks korrutada:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Selles näites (2x +3) ja (3x + 2) on tegurid algsest avaldisest 6x + 13x + 6.
Kontrollige oma tööd! Korrutage leitud tegurid. Kombineerige samad terminid ja olete valmis. Alusta:

(2x + 3) (3x + 2)
Testime seda, korrutades terminid, kasutades EBBL-i (esimene - välimine - sisemine - viimane), mis annab meile:

6x + 4x + 9x + 6
Nüüd lisame 4x ja 9x kokku, kuna need on võrdsed tingimused. Me teame, et tegurid on õiged, sest saame tagasi võrrandi, millest alustasime:

6x + 13x + 6

1. meetod 6-st: proovimine ja viga

Kui teil on üsna lihtne polünoom, siis võite kohe näha, millised tegurid on. Näiteks pärast mõningast harjutamist suudavad paljud matemaatikud seda väljendit näha 4x + 4x + 1 on tegurid (2x + 1) ja (2x + 1) lihtsalt sellepärast, et nad on seda nii palju kordi näinud. (Ilmselt pole see keerukamate polünoomide puhul nii lihtne.) Võtame selle näite jaoks vähem standardse avaldise:

3x + 2x - 8

Pange kirja tegurid a tähtaeg ja c tähtaeg. Kasutage vormingut kirves + bx + c = 0, ära tunda a ja c terminid ja märkige, millised tegurid on olemas. 3x + 2x - 8 puhul tähendab see:

a = 3 ja sellel on 1 paar tegureid: 1 * 3
c = -8 ja sellel on 4 teguripaari: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 ja -1 * 8.
Kirjutage kaks tühja tühikuga sulgude paari. Siin sisestate iga avaldise konstandid:

(x) (x)
Täitke tühik enne x-sid paljude võimalike teguritega a väärtus. Jaoks a meie näites 3x, on ainult üks võimalus:

(3x) (1x)
Täitke kaks tühikut pärast x-sid mõne konstantide teguriga. Oletame, et valime 8 ja 1. Sisestage see:

(3x8) (X1)
Tehke kindlaks, millised märgid (pluss või miinus) peaksid olema x muutuja ja numbri vahel. Sõltuvalt algse avaldise tähemärkidest on võimalik teada saada, millised peaksid olema konstantide märgid. Võtame kahe teguri kaks konstanti h ja k mainima:

Kui kirv + bx + c, siis (x + h) (x + k)
Kui kirves - bx - c või kirves + bx - c, siis (x - h) (x + k)
Kui kirv - bx + c, siis (x - h) (x - k)
Meie näites 3x + 2x - 8 on märk: (x - h) (x + k), mis annab meile järgmised kaks tegurit:

(3x + 8) ja (x - 1)
Testige oma valikut esimese-välimise-sisemise-viimase korrutise abil. Kiire esimene test, et näha, kas keskmine termin on vähemalt õige väärtus. Kui ei, siis on teil tõenäoliselt vale c valitud tegurid. Testime vastust:

(3x + 8) (x - 1)
Korrutades saame:

3x - 3x + 8x - 8
Lihtsustage seda väljendit, lisades sarnased terminid (-3x) ja (8x), ja saame:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Nüüd teame, et võtsime valed tegurid:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Vajadusel muutke oma valikuid. Proovime meie näites 1 ja 8 asemel 2 ja 4:

(3x + 2) (x - 4)
Nüüd meie c mõiste on võrdne -8, kuid (3x * -4) ja (2 * x) välimine / sisemine korrutis on -12x ja 2x, mis pole õige b tähtaeg või + 2x.

-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Vajadusel muutke järjekorda vastupidiseks. Proovime 2 ja 4 ümber pöörata:

(3x + 4) (x - 2)
Nüüd meie c termin (4 * 2 = 8) ja ikka okei, kuid välimised / sisemised tooted on -6x ja 4x. Nende ühendamisel saame:

-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Oleme nüüd jõudmas üsna lähedale 2x-le, kus tahame olla, kuid märk pole veel õige.
Vajadusel kontrollige oma tegelasi veel kord. Hoiame seda korda, kuid vahetame selle miinusmärgiga:

(3x - 4) (x + 2)
Nüüd c mõiste on endiselt okei ja välimised / sisemised tooted on nüüd (6x) ja (-4x). Sest:

6x - 4x = 2x
2x = 2x Nüüd näeme positiivset 2x tagasi algsest probleemist. Need peavad olema õiged tegurid.

2. meetod 6-st: lagunemine

See meetod annab sellest kõik võimalikud tegurid a ja c termineid ja kasutab neid õigete tegurite väljaselgitamiseks. Kui arvud on väga suured või kui teiste meetodite arvamine võtab liiga kaua aega, kasutage seda viisi. Näide:

6x + 13x + 6

Korrutage a tähtaeg koos c tähtaeg. Selles näites a on 6 ja c on ka 6.

6 * 6 = 36
Leidke b perspektiivis faktoriseerimise ja testimise teel. Otsime kahte numbrit, mille tegurid on a * c ja koos b tähtaeg (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Asendage need kaks numbrit, mille leiate oma võrrandisse, summana b tähtaeg. Lähme k ja h tähistamaks meie 2 numbrit, 4 ja 9:

kirves + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Fakteerige polünoom grupeerimise teel. Korrastage võrrand nii, et saaksite eraldada kahe esimese ja kahe viimase mõiste suurima jagaja. Mõlemad tegurid peaksid olema ühesugused. Lisage GGD-d kokku ja asetage need tegurite kõrvale sulgudesse; selle tulemusena saate kaks tegurit:

6x + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)

3. meetod 6-st: kolmikmäng

Sarnaselt lagunemismeetodiga. "Kolmekordse mängu" meetod uurib toote korrutise võimalikke tegureid a ja c ja kasutage seda, et teada saada, mida b peab olema. Võtke näiteks võrrand:

8x + 10x + 2

Korrutage a tähtaeg koos c tähtaeg. Nagu lagunemismeetodi puhul, kasutame ka seda meetodi kandidaatide määramiseks b tähtaeg. Selles näites: a on 8 ja c on 2.

8 * 2 = 16
Leidke 2 numbrit, mille tooteks on see number ja mille summa on võrdne numbriga b tähtaeg. See samm on sama mis lagunemismeetod - testime konstantide kandidaate. Toote a ja c tingimused on 16 ja c tähtaeg on 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Võtke need 2 numbrit ja asendage need kolmikmängu valemis. Võtke 2 numbrit eelmisest etapist - võtame need kätte h ja k helistage neile - ja pange need väljendisse:

((kirves + h) (kirves + k)) / a

Sellega saame:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Vaadake, millist nimetaja kahest terminist saab täielikult jagada a. Selles näites uurime, kas (8x + 8) või (8x + 2) saab jagada 8-ga. (8x + 8) jagub 8-ga, nii et jagame selle termini a ja jätame teise puutumata.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termin, mille siin oleme hoidnud, on see, mis jääb alles pärast jagamist tähega a termin: (x + 1)
Võimaluse korral võtke mõlema või mõlema mõiste suurim jagaja (gcd). Selles näites näeme, et teisel terminil on gcd 2, kuna 8x + 2 = 2 (4x + 1). Ühendage see vastus eelmises etapis avastatud terminiga. Need on teie võrdluse tegurid.

2 (x + 1) (4x + 1)

4. meetod 6-st: kahe ruudu erinevus

Mõne koefitsiendi polünoomis saate ära tunda ruududena või ka 2 identsete arvude korrutisena. Kui selgitada välja, millised ruudud on, saate polünoomid palju kiiremini faktoriseerida. Võtame võrrandi:

27x - 12 = 0

Kui võimalik, eemaldage võrrandist gcd. Sel juhul näeme, et 27 ja 12 on mõlemad jagatavad 3-ga, nii et saame need paigutada eraldi:

27x - 12 = 3 (9x - 4)
Tehke kindlaks, kas teie võrrandi koefitsiendid on ruudud. Selle meetodi kasutamiseks on vaja kindlaks määrata terminite juur. (Pange tähele, et me oleme miinusmärgid välja jätnud - kuna need arvud on ruudud, võivad need olla 2 negatiivse arvu korrutised)

9x = 3x * 3x ja 4 = 2 * 2
Kasutades määratud ruutjuuri, saate nüüd tegurid välja kirjutada. Me võtame a ja c eelmise sammu väärtused: a = 9 ja c = 4, seega on selle juured: - √a = 3 ja √c = 2. Need on faktoriseeritud avaldiste koefitsiendid:

27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Meetod 5/6: valem ABC

Kui miski ei näi töötavat ja te ei saa võrrandit lahendada, kasutage valemit abc. Võtke järgmine näide:

x + 4x + 1 = 0

Sisestage abc valemis vastavad väärtused:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2a
Nüüd saame avaldise:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
Lahendage x. Nüüd peaksite x jaoks saama 2 väärtust. Need on:

x = -2 + √ (3) või x = -2 - √ (3)
Tegurite määramiseks kasutage x väärtusi. Sisestage kahes võrrandis saadud x väärtused konstantidena. Need on teie tegurid. Kui vastame kahele h ja k kirjutame kaks tegurit üles järgmiselt:

(x - h) (x - k)
Sel juhul on lõplik vastus:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6. meetod 6-st: kalkulaatori kasutamine

Kui graafikakalkulaatori kasutamine on lubatud (või kohustuslik), muudab see faktoorimist palju lihtsamaks, eriti eksamite ja eksamite puhul. Järgmised juhised on mõeldud TI graafikakalkulaatori jaoks. Kasutame näite võrrandit:

y = x - x - 2

Sisestage võrrand oma kalkulaatorisse. Kasutate võrrandilahendajat, mida nimetatakse ka ekraaniks [Y =].
Graafige võrrand kalkulaatoriga. Kui olete võrrandi sisestanud, vajutage [GRAPH] - nüüd peaksite nägema kõverjoont, parabooli kui oma võrrandi graafilist kujutist (ja see on parabool, kuna tegemist on polünoomiga).
Leidke, kus parabool lõikub x-teljega. Kuna ruutvõrrand on tavapäraselt kirjutatud kui ax + bx + c = 0, on need kaks x väärtust, mis muudavad võrrandi võrdseks nulliga:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Kui te ei näe parabooli ristumist x-teljega, vajutage [2nd] ja seejärel [TRACE]. Vajutage [2] või valige "null". Liigutage kursor ristmikust vasakule ja vajutage [ENTER]. Liigutage kursor ristmikust paremale ja vajutage [ENTER]. Liigutage kursor lõikepunktile võimalikult lähedale ja vajutage [ENTER]. Kalkulaator näitab väärtust x. Tehke seda ka teise ristmiku jaoks.
Sisestage saadud x väärtused kahte lahtrisse. Kui võtta kaks x väärtust h ja k terminina näeb meie kasutatav väljend välja selline:

(x - h) (x - k) = 0
Seega saavad meie kaheks teguriks:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Näpunäited

Kui olete polünoomi arvutanud abc valemiga ja teie vastus sisaldab juuri, saate nende kontrollimiseks x väärtused teisendada murdosadeks.
Kui terminil pole enne seda koefitsienti, siis on koefitsient võrdne 1-ga, nt x = 1x.
Kui teil on TI-84 kalkulaator, on olemas programm nimega SOLVER, mis suudab teie jaoks ruutvõrrandi lahendada. See lahendab ka kõrgema astme polünoomid.
Pärast palju harjutamist suudate lõpuks polünoomid südamest lahendada. Kuid turvalisuse tagamiseks on parem need alati välja kirjutada.
Kui mõistet pole, on koefitsient null. Siis võib olla kasulik võrrand ümber kirjutada. Nt x + 6 = x + 0x + 6.

Hoiatused

Kui õpite seda mõistet matemaatikatunnis, pöörake tähelepanu sellele, mida õpetaja seletab, ja ärge kasutage ainult oma lemmikmeetodit. Teil võidakse paluda testi jaoks kasutada konkreetset meetodit või graafikakalkulaatorid pole lubatud.