Sisu

• Sammud
• Meetod 1 /3: kuidas lahendada kuupvõrrand ilma konstantse terminita
• Meetod 2/3: kuidas leida terveid juuri, kasutades kordajaid
• 3. meetod 3 -st: kuidas võrrandit lahendada diskrimineerija abil

Kuupvõrrandis on kõrgeim astendaja 3, sellisel võrrandil on 3 juurt (lahendit) ja sellel on vorm ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Mõnda kuupvõrrandit pole nii lihtne lahendada, kuid kui rakendate õiget meetodit (hea teoreetilise taustaga), leiate isegi kõige keerulisema kuupvõrrandi juured - selleks kasutage ruutvõrrandi lahendamise valemit terved juured või arvuta diskrimineerija.

Sammud

Meetod 1 /3: kuidas lahendada kuupvõrrand ilma konstantse terminita

1. 1 Uurige, kas kuupvõrrandis on vaba termin d{ displaystyle d}. Kuupvõrrandil on vorm ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Selleks, et võrrandit pidada kuupmeetriks, piisab sellest, kui kasutatakse ainult terminit ${ displaystyle x ^ {3}}$ (see tähendab, et teisi liikmeid ei pruugi üldse olla).
   • Kui võrrandil on vaba termin ${ displaystyle d}$, kasutage teist meetodit.
   • Kui võrrandis ${ displaystyle a = 0}$, see ei ole kuup.
2. 2 Võtke sulgudest välja x{ displaystyle x}. Kuna võrrandis pole vabaterminit, sisaldab iga võrrandi liige muutujat ${ displaystyle x}$... See tähendab, et üks ${ displaystyle x}$ võrrandi lihtsustamiseks võib sulgudest välja jätta. Seega kirjutatakse võrrand järgmiselt: ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Näiteks antud kuupvõrrand ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Võta välja ${ displaystyle x}$ sulgudes ja saada ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Tegur (kahe binoomi korrutis) ruutvõrrand (kui võimalik). Paljud vormi ruutvõrrandid ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ saab faktoriseerida. Selline võrrand selgub, kui me selle välja võtame ${ displaystyle x}$ väljaspool sulgusid. Meie näites:
   • Võtke sulgudest välja ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Mõõtke ruutvõrrand: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Võrrelge iga prügikasti ${ displaystyle 0}$... Selle võrrandi juured on ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Lahendage ruutvõrrand spetsiaalse valemi abil. Tehke seda, kui ruutvõrrandit ei saa faktoriseerida. Võrrandi kahe juure leidmiseks koefitsientide väärtused ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ asendada valemis ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Meie näites asendage koefitsientide väärtused ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) valemisse:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Esimene juur:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Teine juur:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Kasutage kuupvõrrandi lahenditena null- ja ruutjuure. Ruutvõrranditel on kaks juurt, kuupmeetritel aga kolm juurt. Olete juba leidnud kaks lahendust - need on ruutvõrrandi juured. Kui panete "x" sulgudest väljapoole, oleks kolmas lahendus ${ displaystyle 0}$.
   • Kui võtate sulgudest "x", saate ${ displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$ehk kaks tegurit: ${ displaystyle x}$ ja sulgudes ruutvõrrand. Kui mõni neist teguritest on ${ displaystyle 0}$, kogu võrrand on samuti võrdne ${ displaystyle 0}$.
   • Seega on ruutvõrrandi kaks juurt kuupvõrrandi lahendid. Kolmas lahendus on ${ displaystyle x = 0}$.

Meetod 2/3: kuidas leida terveid juuri, kasutades kordajaid

1. 1 Veenduge, et kuupvõrrandis on vaba termin d{ displaystyle d}. Kui vormi võrrandis ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ on vaba liige ${ displaystyle d}$ (mis ei ole võrdne nulliga), ei õnnestu "x" sulgudest väljapoole panna. Sel juhul kasutage selles jaotises kirjeldatud meetodit.
   • Näiteks antud kuupvõrrand ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Võrrandi paremale küljele nulli saamiseks lisage ${ displaystyle 6}$ võrrandi mõlemale poolele.
   • Võrrand selgub ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Nagu ${ displaystyle d = 6}$, esimeses osas kirjeldatud meetodit ei saa kasutada.
2. 2 Kirjutage koefitsiendi tegurid üles a{ displaystyle a} ja vaba liige d{ displaystyle d}. See tähendab, et leidke arvu tegurid aadressil ${ displaystyle x ^ {3}}$ ja numbrid võrdusmärgi ees. Tuletame meelde, et arvu tegurid on arvud, mis korrutades annavad selle arvu.
   • Näiteks numbri saamiseks 6, peate korrutama ${ displaystyle 6 korda 1}$ ja ${ displaystyle 2 korda 3}$... Nii et numbrid 1, 2, 3, 6 on arvu tegurid 6.
   • Meie võrrandis ${ displaystyle a = 2}$ ja ${ displaystyle d = 6}$... Kordajad 2 on 1 ja 2... Kordajad 6 on numbrid 1, 2, 3 ja 6.
3. 3 Jagage iga tegur a{ displaystyle a} iga teguri kohta d{ displaystyle d}. Selle tulemusena saate palju murde ja mitu täisarvu; kuupvõrrandi juured on üks täisarvudest või ühe täisarvu negatiivne väärtus.
   • Meie näites jagage tegurid ${ displaystyle a}$ (1 ja 2) tegurite järgi ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 ja 6). Saate: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ ja ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Nüüd lisage loendisse saadud murdude ja numbrite negatiivsed väärtused: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ ja ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Kuupvõrrandi kogu juured on mõned numbrid sellest loendist.
4. 4 Sisestage täisarvud kuupvõrrandisse. Kui võrdsus on tõene, on asendatud arv võrrandi juur. Näiteks asendage võrrandis ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, st võrdsust ei järgita. Sellisel juhul sisestage järgmine number.
   • Asendaja ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Seega, ${ displaystyle -1}$ on kogu võrrandi juur.
5. 5 Kasutage polünoomide jagamise meetodit Horneri skeemet leida võrrandi juured kiiremini. Tehke seda, kui te ei soovi numbreid käsitsi võrrandisse asendada. Horneri skeemis jagatakse täisarvud võrrandi koefitsientide väärtustega ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ ja ${ displaystyle d}$... Kui numbrid on ühtlaselt jagatavad (see tähendab, et ülejäänud on ${ displaystyle 0}$), täisarv on võrrandi juur.
   • Horneri skeem väärib eraldi artiklit, kuid järgmine on näide meie kuupvõrrandi ühe juure arvutamiseks selle skeemi abil:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Nii et ülejäänud on ${ displaystyle 0}$, aga ${ displaystyle -1}$ on üks võrrandi juurtest.

3. meetod 3 -st: kuidas võrrandit lahendada diskrimineerija abil

1. 1 Kirjutage võrrandi koefitsientide väärtused üles a{ displaystyle a}, b{ displaystyle b}, c{ displaystyle c} ja d{ displaystyle d}. Soovitame näidatud koefitsientide väärtused eelnevalt üles kirjutada, et tulevikus mitte segadusse sattuda.
   • Näiteks võrrandit arvestades ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Kirjuta üles ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ ja ${ displaystyle d = -1}$... Tuletage meelde, et kui varem ${ displaystyle x}$ numbrit pole, vastav koefitsient on endiselt olemas ja võrdne ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Arvutage nulldiskriminant spetsiaalse valemi abil. Kuupvõrrandi lahendamiseks diskrimineerija abil peate tegema hulga keerulisi arvutusi, kuid kui teete kõik toimingud õigesti, muutub see meetod hädavajalikuks ka kõige keerukamate kuupvõrrandite lahendamisel. Esimene arvutus ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (null diskrimineeriv) on esimene väärtus, mida vajame; selleks asendage valemis vastavad väärtused ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Diskriminant on arv, mis iseloomustab polünoomi juuri (näiteks ruutvõrrandi diskrimineerija arvutatakse valemiga ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Meie võrrandis:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Arvutage esimene diskrimineerija valemi abil Δ1=2b3−9abc+27a2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Esimene diskrimineerija ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - see on teine ​​oluline väärtus; selle arvutamiseks ühendage vastavad väärtused määratud valemiga.
   • Meie võrrandis:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Arvutama:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... See tähendab, et saadud väärtuste kaudu leidke kuupvõrrandi diskrimineerija ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ja ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Kui kuupvõrrandi diskrimineerija on positiivne, on võrrandil kolm juurt; kui diskrimineerija on null, on võrrandil üks või kaks juurt; kui diskrimineerija on negatiivne, on võrrandil üks juur.
   • Kuupvõrrandil on alati vähemalt üks juur, kuna selle võrrandi graafik lõikab X-telge vähemalt ühes punktis.
   • Meie võrrandis ${ displaystyle Delta _ {0}}$ ja ${ displaystyle Delta _ {1}}$ on võrdsed ${ displaystyle 0}$, nii et saate hõlpsalt arvutada ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Seega on meie võrrandil üks või kaks juurt.

5. 5 Arvutama:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { vasakule ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } õige) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - see on viimane oluline kogus, mis leitakse; see aitab teil arvutada võrrandi juuri. Asendage väärtused määratud valemiga ${ displaystyle Delta _ {1}}$ ja ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Meie võrrandis:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Leidke võrrandi kolm juurt. Tehke seda valemiga ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, kus ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, aga n on võrdne 1, 2 või 3... Asendage sellesse valemisse sobivad väärtused - selle tulemusel saate võrrandi kolm juurt.
   • Arvutage väärtus valemi abil n = 1, 2 või 3ja siis kontrollige vastust. Kui saate vastuse kontrollimisel 0, on see väärtus võrrandi juur.
   • Meie näites asendaja 1 sisse ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ ja saada 0st 1 on üks võrrandi juurtest.