Sisu

• Sammud
• Nõuanne

Kui olete matemaatik või graafiline programmeerija, peate tõenäoliselt leidma nurga kahe antud vektori vahel. Selles artiklis näitab wikiHow, kuidas seda teha.

Sammud

1. osa 2-st: Leidke nurk kahe vektori vahel

1. 

   Vektori määratlus. Pange kirja kogu teave teie kahe vektori kohta. Oletame, et teil on ainult nende mõõtmete koordinaatide määratud parameetrid (neid nimetatakse ka komponentideks). Kui teate juba vektori pikkust (suurust), võite mõne alltoodud sammu vahele jätta.
   • Näide: kahemõõtmeline vektor = (2,2) ja kahemõõtmeline vektor = (0,3). Neid saab kirjutada ka = 2i + 2j ja = 0i + 3j = 3j.
   • Kuigi selle artikli näites kasutatakse kahemõõtmelisi vektoreid, võivad järgnevad juhised kehtida suvalise arvu mõõtmetega vektorite kohta.

2. 

   
   
   Pange üles koosinusvalem. Kahe vektori nurga θ leidmiseks alustame selle nurga koosinuse leidmise valemiga. Selle valemi kohta saate lisateavet või kirjutage see lihtsalt järgmiselt:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| tähendab "vektori pikkust".
   • • on kahe vektori skalaarkorrutis - seda selgitatakse allpool.

3. 

   
   
   Arvutage iga vektori pikkus. Kujutage ette, et täisnurkne kolmnurk koosneb vektori x, y komponentidest ja vektorist endast. Vektor moodustab kolmnurga hüpotenuusi, nii et selle pikkuse leidmiseks kasutame Pythagorase teoreemi. Tegelikult saab seda valemit hõlpsasti laiendada mis tahes arvu mõõtmetega vektorile.
   • || u || = u₁ + u₂. Kui vektoril on rohkem kui kaks elementi, peate lihtsalt lisama + u₃ + u₄ +...
   • Seega kahemõõtmelise vektori korral || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Selles näites |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Arvutage kahe vektori skalaarkorrutis. Võib-olla olete õppinud vektorite korrutamise meetodit, tuntud ka kui skalaarne seda. Nende koostisega seotud skalaarkorrutise arvutamiseks korrutage koostisosad mõlemas suunas kokku, seejärel lisage kõik tulemused.
   • Graafikaprogrammi kohta lugege enne edasist lugemist jaotist Nõuanded.
   • Matemaatikas • = u₁v₁ + u₂v₂, kus u = (u₁, u₂). Kui vektoril on rohkem kui kaks elementi, lisage lihtsalt + u₃v₃ + u₄v₄...
   • Selles näites on • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. See on vektori ja vektori skalaarkorrutis.

5. 

   Pange tulemused valemisse. Pidage meeles, et cosθ = (•) / (|||| || ||). Nüüd teame nii skalaarkorrutist kui ka iga vektori pikkust. Nurga koosinuse arvutamiseks sisestage need valemisse.
   • Meie näites cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Leidke nurk selle koosinuselt. Θ leidmiseks teadaolevast cos-väärtusest saate kasutada kalkulaatori funktsiooni arccos või cos. Mõne tulemuse korral võite nurga leida ühikuringi põhjal.
   • Selles näites sisestage nurga leidmiseks kalkulaatorisse "arccos (√2 ​​/ 2)". Või leiate nurga the üksusringilt positsioonilt cosθ = √2 / 2. See kehtib θ = /₄ või 45º.
   • Kõike kombineerides on lõplik valem: nurk θ = arkoosiin ((•) / (|||| || ||))
   reklaam

2. osa 2: nurkvalemi määramine

1. 

   Mõistke valemi eesmärki. See valem ei tuletatud olemasolevatest reeglitest. Selle asemel moodustatakse see skalaarkorrutise ja kahe vektori vahelise nurga määratlusena. Isegi siis polnud see meelevaldne otsus. Pöördudes tagasi põhigeomeetria juurde, saame aru, miks see valem annab intuitiivsed ja kasulikud definitsioonid.
   • Allpool toodud näidetes kasutatakse kahemõõtmelisi vektoreid, kuna neid on kõige lihtsam mõista ja kõige lihtsam. Kolmemõõtmelistel või enamatel vektoritel on omadused, mis on määratletud peaaegu sarnaste üldvalemitega.

2. 

   Vaadake üle Cosine'i teoreem. Vaatleme tavalist kolmnurka, mille külgede a ja b, vastaskülje c vahel on nurk θ. Kosinuse teoreem ütleb, et c = a + b -2abcos(θ). See tulemus pärineb lihtsalt põhigeomeetriast.

3. 

   Ühendage kaks vektorit, moodustades kolmnurga. Joonistage paberile paar kahemõõtmelist vektorit, vektorid ja vektorid, kusjuures θ on nende omavaheline nurk. Kolmnurga loomiseks tõmmake nende kahe vahele kolmas vektor. Teisisõnu joonistage vektor, nii et + =. Vektor = -.

4. 

   Kirjutage selle kolmnurga koosinus teoreem. Asendage meie "vektorkolmnurga" külje pikkus koosinus teoreemiga:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Kirjutage skalaarse korrutisega. Pidage meeles, et skalaarkorrutis on ühe vektori kujutis. Vektori skalaarkorrutis iseendaga ei vaja projektsiooni, sest siin pole erinevust suundades. See tähendab, et • = || a ||. Selle abil kirjutame võrrandi ümber:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Kirjutas sama valemi edukalt ümber. Laiendage valemi vasakut serva, seejärel lihtsustage valemite leidmiseks nurkade leidmiseks.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   reklaam

Nõuanne

• Väärtuste muutmiseks ja probleemi kiireks lahendamiseks kasutage seda valemit kahemõõtmeliste vektorite paari jaoks: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Kui töötate arvutigraafika tarkvaraga, peate tõenäoliselt hoolima ainult vektorite mõõtmest, muretsemata nende pikkuse pärast. Võrrandi lühendamiseks ja programmi kiirendamiseks toimige järgmiselt.
  • Normaliseerige iga vektor nii, et need oleksid võrdsed 1. Selleks jagage vektori kõik komponendid pikkuse järgi.
  • Hankige skalaari normaliseeritud korrutis algse vektori asemel.
  • Kuna pikkus on 1, võime pikkuselemendid võrrandist välja jätta. Lõpuks on saadud nurkvõrrandiks arccos (•).
• Koosinuse valemi põhjal saame kiiresti kindlaks teha, kas nurk on terav või nüri. Alustage tähega cos (= (•) / (|||| ||||):
  • Võrrandi vasakul ja paremal küljel peab olema sama märk (positiivne või negatiivne).
  • Kuna pikkus on alati positiivne, peab cosθ-l olema sama märk kui skalaarkorrutis.
  • Seega, kui toode on positiivne, on ka cosθ positiivne. Oleme üksusringi esimeses kvadrandis, kusjuures θ <π / 2 või 90º. Leitav nurk on terav nurk.
  • Kui skalaarkorrutis on negatiivne, on cosθ negatiivne. Oleme üksusringi teises kvadrandis, kusjuures π / 2 <θ ≤ π või 90º <θ ≤ 180º. See on vangla nurk.