Sisu

• Sammud
• Osa 1 /3: Binomiaalide faktooring
• Osa 2 /3: Binoomide faktooring võrrandite lahendamiseks
• Osa 3/3: keerukate probleemide lahendamine
• Näpunäiteid
• Hoiatused

Binoom (binoom) on matemaatiline avaldis, millel on kaks terminit, mille vahel on pluss- või miinusmärk, näiteks ${ displaystyle ax + b}$... Esimene liige sisaldab muutujat ja teine ​​sisaldab või ei sisalda seda. Binoomi faktoorimine hõlmab terminite leidmist, mille korrutamisel saadakse algne binoom, et seda lahendada või lihtsustada.

Sammud

Osa 1 /3: Binomiaalide faktooring

1. 1 Mõistke faktooringprotsessi põhitõdesid. Binoomi faktooringul võetakse sulgust välja tegur, mis on algse binoomi iga termini jagaja. Näiteks arv 6 jagub täielikult 1, 2, 3, 6. Seega on numbri 6 jagajad numbrid 1, 2, 3, 6.
   • Jagajad 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Mis tahes arvu jagajad on 1 ja number ise. Näiteks jagajad 3 on 1 ja 3.
   • Täisarvude jagajad võivad olla ainult täisarvud. Arvu 32 saab jagada 3,564 või 21,4952 -ga, kuid saate mitte täisarvu, vaid kümnendmurru.
2. 2 Faktooringuprotsessi hõlbustamiseks tellige binomi tingimused. Binoom on kahe termini summa või erinevus, millest vähemalt üks sisaldab muutujat. Mõnikord tõstetakse muutujad võimule, näiteks ${ displaystyle x ^ {2}}$ või ${ displaystyle 5 aastat ^ {4}}$... Parem on binomiumi tingimused järjestada astendajate kasvavas järjekorras, see tähendab, et väikseima astendajaga termin kirjutatakse kõigepealt ja suurima astmega - viimane. Näiteks:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Pange tähele miinusmärki 2. ees. Kui termin lahutatakse, kirjutage selle ette miinusmärk.
3. 3 Leidke mõlema termini suurim ühine jagaja (GCD). GCD on suurim arv, mille võrra binoomi mõlemad liikmed jagunevad. Selleks leidke binomiaalist iga termini jagajad ja seejärel valige suurim ühine jagaja. Näiteks:
   • Ülesanne:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Jagajad 3: 1, 3
     • Jagajad 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Jagage iga binomiaalne termin suurima ühise jagajaga (GCD). Tehke seda GCD väljaarvamiseks. Pange tähele, et binoomi iga liige väheneb (kuna see on jagatav), kuid kui GCD sulgudest välja jätta, on lõplik avaldis võrdne algse avaldisega.
   • Ülesanne:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Leidke GCD: 3
   • Jagage iga binoomtermin gcd -ga:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Liigutage jagaja sulgudest välja. Varem jagasite binomiumi mõlemad tingimused jagajaga 3 ja saite ${ displaystyle t + 2}$... Kuid te ei saa 3 -st lahti saada - et alg- ja lõppavaldiste väärtused oleksid võrdsed, peate panema 3 sulgudest välja ja kirjutama sulgudes jagamise tulemusena saadud avaldise. Näiteks:
   • Ülesanne:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Leidke GCD: 3
   • Jagage iga binoomtermin gcd -ga:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Korrutage jagaja saadud avaldisega:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Vastus: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Kontrollige oma vastust. Selleks korrutage sulgude ees olev termin iga sulgudes oleva tähega. Kui saate algse binomi, on lahendus õige. Nüüd lahendage probleem ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Telli liikmed:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Leidke GCD:${ displaystyle 6}$
   • Jagage iga binoomtermin gcd -ga:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Korrutage jagaja saadud avaldisega:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Kontrollige vastust:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Osa 2 /3: Binoomide faktooring võrrandite lahendamiseks

1. 1 Tegutsege binoom, et seda lihtsustada ja võrrand lahendada. Esmapilgul tundub võimatu lahendada mõnda võrrandit (eriti keerukate binoomidega). Näiteks lahendage võrrand ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Selles võrrandis on volitusi, seega arvestage kõigepealt avaldisega.
   • Ülesanne:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Pidage meeles, et binoomil on kaks liiget. Kui avaldis sisaldab rohkem termineid, õppige polünoome lahendama.
2. 2 Lisage või lahutage võrrandi mõlemale küljele mõni monoom, nii et võrrandi ühele küljele jääks null. Faktoriseerimise puhul põhineb võrrandite lahendus muutumatul tõsiasjal, et iga avaldis, mis on korrutatud nulliga, võrdub nulliga. Seega, kui võrdsustada võrrand nulliga, peab selle tegur olema võrdne nulliga. Määrake võrrandi üks pool väärtusele 0.
   • Ülesanne:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Seadistage null:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Arvutage saadud prügikasti. Tehke seda, nagu eelmises osas kirjeldatud. Leidke suurim ühine tegur (GCD), jagage binoomi mõlemad terminid sellega ja teisaldage tegur sulgudest välja.
   • Ülesanne:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Seadistage null:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Seadke iga tegur nulli. Saadud avaldises korrutatakse 2y 4 -ga ja see produkt võrdub nulliga. Kuna iga avaldis (või termin), mis on korrutatud nulliga, on null, siis 2y või 4 - y on 0. "Y" leidmiseks seadke saadud monoomiline ja binoomne nulliks.
   • Ülesanne:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Seadistage null:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Määrake mõlemad tegurid väärtuseks 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Lõpliku vastuse (või vastuste) leidmiseks lahendage saadud võrrandid. Kuna iga tegur võrdub nulliga, võib võrrandil olla mitu lahendust. Meie näites:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Kontrollige oma vastust. Selleks asendage leitud väärtused algsesse võrrandisse. Kui võrdsus on tõene, on otsus õige. Asendage leitud väärtused "y" asemel. Meie näites y = 0 ja y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$See on õige otsus
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$Ja see on õige otsus

Osa 3/3: keerukate probleemide lahendamine

1. 1 Pidage meeles, et muutujaga terminit saab ka faktoriseerida, isegi kui muutuja on suurendatud. Faktooringul tuleb leida monoom, mis jagab iga kaheliikmelise liikme terviklikult. Näiteks monoomiline ${ displaystyle x ^ {4}}$ saab faktoriseerida ${ displaystyle x * x * x * x}$... See tähendab, et kui binomi teine ​​liige sisaldab ka muutujat "x", siis saab "x" sulgudest välja võtta. Seega käsitlege muutujaid täisarvudena. Näiteks:
   • Mõlemad binomi liikmed ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ sisaldavad "t", nii et "t" saab sulgudest välja võtta: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Samuti saab klambrist välja võtta võimsuseks tõstetud muutuja. Näiteks mõlemad binomi liikmed ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ sisaldama ${ displaystyle x ^ {2}}$, nii ${ displaystyle x ^ {2}}$ saab klambrist välja võtta: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Binoomi saamiseks lisage või lahutage sarnaseid termineid. Näiteks väljendit arvestades ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Esmapilgul on see polünoom, kuid tegelikult saab selle avaldise teisendada binoomiks. Lisage sarnased terminid: 6 ja 14 (ei sisalda muutujat) ja 2x ja 3x (sisaldavad sama muutujat "x"). Sel juhul lihtsustatakse faktooringuprotsessi:
   • Algne väljend:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Telli liikmed:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Lisage sarnased terminid:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Leidke GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Mõjutage täiuslike ruutude erinevust. Täiuslik ruut on arv, mille ruutjuur on näiteks täisarv ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ ja isegi ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Kui binoom on näiteks täiuslike ruutude erinevus, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, siis faktoriseeritakse see valemiga:
   • Ruutude valemi erinevus:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Ülesanne:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Väljavõte ruutjuurtest:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Asendage leitud väärtused valemiga: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Mõõtke kogu kuubikute vahe. Kui binoom on näiteks täiskuubikute vahe, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, siis faktoriseeritakse see spetsiaalse valemi abil. Sel juhul on vaja kuubikujuur igast binoomiliikmest välja võtta ja leitud väärtused valemisse asendada.
   • Kuubikute erinevuse valem:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Ülesanne:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Eemaldage kuupjuured:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Asendage leitud väärtused valemiga: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Arvutage täis kuubikute summa. Erinevalt täiuslike ruutude summast, näiteks täiskuubikute summa, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, saab faktoriseerida spetsiaalse valemi abil. See sarnaneb kuubikute erinevuse valemiga, kuid märgid on vastupidised. Valem on üsna lihtne - selle kasutamiseks leidke ülesandest täiskuubikute summa.
   • Kuubikute summa valem:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Ülesanne:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Eemaldage kuupjuured:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Asendage leitud väärtused valemiga: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Näpunäiteid

• Mõnikord pole binoomliikmetel ühist jagajat. Mõnes ülesandes esitatakse liikmed lihtsustatud kujul.
• Kui te ei leia GCD -d kohe, jagage see väikeste arvudega. Näiteks kui te ei näe, et numbrite 32 ja 16 GCD oleks 16, jagage mõlemad arvud kahega. Saate 16 ja 8; neid numbreid saab jagada 8. Nüüd saate 2 ja 1; neid numbreid ei saa vähendada. Seega on ilmne, et on suurem arv (võrreldes 8 ja 2), mis on kahe antud arvu ühine jagaja.
• Pange tähele, et kuuenda järgu terminid (eksponendiga 6, näiteks x) on nii täiuslikud ruudud kui ka täiuslikud kuubikud. Seega saab kuuenda järgu terminitega binomiaalidele, näiteks x - 64, rakendada (suvalises järjekorras) ruutude erinevuse ja kuubikute erinevuse valemeid. Kuid parem on kõigepealt rakendada ruutude erinevuse valemit, et binoomiga õigesti laguneda.

Hoiatused

• Binoomi, mis on täiuslike ruutude summa, ei saa faktoriseerida.