Sisu

• Astuda

Trigonomeetriline võrrand on võrrandi muutuva trigonomeetrilise kõvera x ühe või mitme trigonomeetrilise funktsiooniga. X-i lahendamine tähendab trigonomeetriliste kõverate väärtuste leidmist, mille trigonomeetrilised funktsioonid põhjustavad trigonomeetrilise võrrandi õigsust.

• Lahuse kõverate vastused või väärtused on väljendatud kraadides või radiaanides. Näited:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 kraadi; x = 37,12 kraadi; x = 178,37 kraadi

• Märkus: ühikuringil on mis tahes kõvera trigonomeetrilised funktsioonid võrdsed vastava nurga trigonomeetriliste funktsioonidega. Ühikuring määratleb muutuja kõvera x kõik trigonomeetrilised funktsioonid. Seda kasutatakse ka tõendina trigonomeetriliste põhivõrrandite ja ebavõrdsuste lahendamisel.
• Trigonomeetriliste võrrandite näited:
  • sin x + patt 2x = 1/2; tan x + võrevoodi x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Ühiku ring.
   • See on ring raadiusega = 1, kus O on alguspunkt. Ühikuring määratleb muutuva kõvera x 4 peamist trigonomeetrilist funktsiooni, mis ümbritseb seda vastupäeva.
   • Kui kõver väärtusega x varieerub üksusringil, siis kehtib:
   • Horisontaaltelg OAx määrab trigonomeetrilise funktsiooni f (x) = cos x.
   • Vertikaaltelg OBy määratleb trigonomeetrilise funktsiooni f (x) = sin x.
   • Vertikaaltelg AT määrab trigonomeetrilise funktsiooni f (x) = tan x.
   • Horisontaaltelg BU määratleb trigonomeetrilise funktsiooni f (x) = võrevoodi x.

• Ühiku ringi kasutatakse ka trigonomeetriliste põhivõrrandite ja standardsete trigonomeetriliste ebavõrdsuste lahendamiseks, võttes arvesse kõvera x erinevaid positsioone ringil.

Astuda

1. Mõista lahenduse meetodit.
   • Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks teisendatakse see üheks või mitmeks trigonomeetriliseks võrrandiks. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise tulemuseks on lõpuks 4 trigonomeetrilise põhivõrrandi lahendamine.
2. Tea, kuidas lahendada trigonomeetrilisi põhivõrrandeid.
   • Seal on 4 trigonomeetrilist põhivõrrandit:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; võrevoodi x = a
   • Trigonomeetriliste põhivõrrandite saate lahendada, uurides kõvera x erinevaid asetusi trigonomeetrilises ringis ja kasutades trigonomeetrilist teisendustabelit (või kalkulaatorit). Nende ja sarnaste trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamise täielikuks mõistmiseks lugege järgmist raamatut: "Trigonomeetria: trigonomeetriliste võrrandite ja ebavõrdsuste lahendamine" (Amazon E-book 2010).
   • Näide 1. Lahendage sin x = 0,866. Teisendustabel (või kalkulaator) annab vastuse: x = Pi / 3. Trigonomeetriline ring annab teise kõvera (2Pi / 3), mille siinuse väärtus on sama (0,866). Trigonomeetriline ring annab ka lõpmatuse vastuseid, mida nimetatakse laiendatud vastusteks.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi ja x2 = 2Pi / 3. (Vastused ajavahemiku jooksul (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi ja x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Üksikasjalikud vastused).
   • Näide 2. Lahendage: cos x = -1/2. Kalkulaatorid annavad x = 2 Pi / 3. Trigonomeetriline ring annab ka x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi ja x2 = - 2Pi / 3. (Vastused perioodile (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi ja x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Laiendatud vastused)
   • Näide 3. Lahendage: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Vastus)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Laiendatud vastus)
   • Näide 4. Lahendage: võrevoodi 2x = 1,732. Kalkulaatorid ja trigonomeetriline ring annavad:
   • x = Pi / 12; (Vastus)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Laiendatud vastused)
3. Õppige teisendusi, mida kasutatakse trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel.
   • Antud trigonomeetrilise võrrandi teisendamiseks standardseteks trigonomeetrilisteks võrranditeks kasutage standardset algebralist teisendust (faktoriseerimine, ühine tegur, polünoomid ...), trigonomeetriliste funktsioonide määratlusi ja omadusi ning trigonomeetrilisi identiteete. Neid on umbes 31, neist 14 on trigonomeetrilised identiteedid, vahemikus 19 kuni 31, mida nimetatakse ka teisendusidentiteetideks, kuna neid kasutatakse trigonomeetriliste võrrandite teisendamisel. Vaadake ülaltoodud raamatut.
   • Näide 5: trigonomeetriline võrrand: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 saab teisendada trigonomeetriliste identiteetide abil trigonomeetriliste põhivõrrandite korrutiseks: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Trigonomeetrilised põhivõrrandid tuleb lahendada: cos x = 0; patt (3x / 2) = 0; ja cos (x / 2) = 0.
4. Leidke kõverad, mille jaoks trigonomeetrilised funktsioonid on teada.
   • Enne kui saate õppida trigonomeetriliste võrrandite lahendamist, peate teadma, kuidas kiiresti leida kõverad, mille jaoks trigonomeetrilised funktsioonid on teada. Kõverate (või nurkade) teisendusväärtusi saab määrata trigonomeetriliste tabelite või kalkulaatori abil.
   • Näide: lahendage cos x = 0,732. Kalkulaator annab lahuse x = 42,95 kraadi. Ühikuring annab teised kõverad, millel on koosinus sama väärtus.
5. Joonistage vastuse kaar ühikuringile.
   • Ühiku ringil oleva lahendi illustreerimiseks saate luua graafiku. Nende kõverate lõpp-punktideks on trigonomeetrilise ringi korrapärased hulknurgad. Mõned näited:
   • Kõvera lõpppunktid x = Pi / 3 + k. Pi / 2 on ruut ühikuringil.
   • Kõverad x = Pi / 4 + k.Pi / 3 on kujutatud ühiku ringi kuusnurga koordinaatidega.
6. Siit saate teada, kuidas lahendada trigonomeetrilisi võrrandeid.
   • Kui antud trigonomeetriline võrrand sisaldab ainult ühte trigonomeetrilist funktsiooni, lahendage see tavalise trigonomeetrilise võrrandina. Kui antud võrrand sisaldab kahte või enamat trigonomeetrilist funktsiooni, siis on kaks lahendusmeetodit, sõltuvalt võrrandi teisendamise võimalustest.
     • A. 1. meetod.
   • Teisendage trigonomeetriline võrrand korrutiseks kujul: f (x) .g (x) = 0 või f (x) .g (x) .h (x) = 0, kus f (x), g (x) ja h (x) on trigonomeetrilised põhivõrrandid.
   • Näide 6. Lahendage: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Lahendus. Asendage võrrand sin 2x identiteedi abil: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Seejärel lahendage 2 trigonomeetrilist standardset funktsiooni: cos x = 0 ja (sin x + 1) = 0.
   • Näide 7. Lahendage: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Lahendus: teisendage see produktiks, kasutades trigonomeetrilisi identiteete: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Nüüd lahendage 2 trigonomeetrilist põhivõrrandit: cos 2x = 0 ja (2cos x + 1) = 0.
   • Näide 8. Lahendage: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Lahendus: teisendage see produktiks, kasutades trigonomeetrilisi identiteete: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Nüüd lahendage 2 trigonomeetrilist põhivõrrandit: cos 2x = 0 ja (2sin x + 1) = 0.
     • B. Lähenemine 2.
   • Teisendab trigivõrrandi trigivõrrandiks, millel on muutujana ainult üks kordumatu trigfunktsioon. Seal on mõned näpunäited, kuidas valida sobiv muutuja. Levinumad muutujad on: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t ja tan (x / 2) = t.
   • Näide 9. Lahendage: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Lahendus. Asendage võrrandis (cos ^ 2x) (1 - sin ^ 2x) ja lihtsustage võrrandit:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Nüüd kasutage sin x = t. Võrrandiks saab: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. See on ruutjuurevõrrand, millel on kaks juurt: t1 = -1 ja t2 = 9/5. Teise t2 võime tagasi lükata, sest> 1. Nüüd lahendage: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Näide 10. Lahendage: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Lahendus. Kasutage tan x = t. Teisendage antud võrrand võrrandiks, mille t on muutuja: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Lahendage sellest korrutisest t, seejärel lahendage x jaoks standard trigonomeetriline võrrand tan x = t.
7. Lahendage spetsiaalsed trigonomeetrilised võrrandid.
   • Seal on mõned spetsiaalsed trigonomeetrilised võrrandid, mis nõuavad mõningaid konkreetseid teisendusi. Näited:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Õppige trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisi omadusi.
   • Kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, mis tähendab, et nad pöörduvad pärast perioodi pöörlemist tagasi sama väärtuseni. Näited:
     • Funktsioonil f (x) = sin x on perioodiks 2Pi.
     • Funktsioonil f (x) = tan x on perioodiks Pi.
     • Funktsioonil f (x) = sin 2x on perioodiks Pi.
     • Funktsioonil f (x) = cos (x / 2) on perioodiks 4Pi.
   • Kui harjutustes / testis on periood määratud, tuleb selle perioodi jooksul lihtsalt üles leida kõver (id) x.
   • MÄRKUS. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine on keeruline ja põhjustab sageli vigu. Seetõttu tuleks vastuseid hoolikalt kontrollida. Pärast lahendamist saate vastuseid graafikakalkulaatori abil kontrollida, et antud trigonomeetriline võrrand R (x) = 0. otseselt esitada. Vastused (ruutjuurena) antakse kümnendkohtades. Näiteks on Pi väärtuseks 3,14