Sisu

• Astuda
• 1. meetod 2-st: juurte tõmbamine peamiste teguritega
• 2. meetod 2-st: ruutjuurte leidmine ilma kalkulaatorita
• Pika jagunemisega
• Mõistke protseduuri
• Näpunäited
• Hoiatused

Enne kalkulaatorite tulekut pidid nii üliõpilased kui ka õppejõud arvutama ruutjuuri pliiatsi ja paberiga. Sel ajal töötati selle kohati raske töö lahendamiseks välja erinevad tehnikad, millest mõned annavad ligikaudse hinnangu ja teised arvutavad täpse väärtuse. Siit saate teada, kuidas leida numbri ruutjuurt mõne lihtsa sammuga.

Astuda

1. meetod 2-st: juurte tõmbamine peamiste teguritega

1. Jagage oma arv võimsusteguriteks. See meetod kasutab numbri tegureid numbri ruutjuure leidmiseks (sõltuvalt numbrist võib see olla täpne vastus või hinnang). The tegurid etteantud arvu arv on mis tahes arvude jada, mis korrutatakse kokku, et moodustada see konkreetne arv. Näiteks võite öelda, et tegurid 8 on 2 ja 4, kuna 2 × 4 = 8. Täiuslikud ruudud on aga täisarvud, mis on teiste täisarvude korrutis. Näiteks 25, 36 ja 49 on täiuslikud ruudud, kuna need on võrdsed vastavalt 5, 6 ja 7. Teised võimsustegurid, nagu te aru olete saanud, on ka täiuslikud ruudud. Ruutjuure leidmiseks algtegurite abil proovige kõigepealt jagada arv selle teiseks võimsusteguriks.
   • Võtke järgmine näide. Leiame ruutjuure 400. Alustuseks jagame arvu võimsusteguriteks. Kuna 400 on 100 kordne, teame, et see jagub võrdselt 25-ga - täiuslik ruut. Kiire rote ütleb meile, et 400/25 = 16,16 on ka ideaalne ruut. Seega on kuubitegurid 400 25 ja 16 sest 25 × 16 = 400.
   • Kirjutame selle järgmiselt: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Võtke oma teise võimsusteguri ruutjuured. Ruutjuurte korrutusreegel ütleb, et mis tahes arvu korral a ja b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Selle omaduse tõttu võime nüüd vastuse saamiseks võtta ruutu tegurite ruutjuured ja korrutada need kokku.
   • Meie näites võtame ruutjuured 25 ja 16. Vaadake allpool:
     • Ruut (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Kui teie numbrit ei saa täiuslikult arvesse võtta, lihtsustage seda. Tegelikkuses ei ole arvud, mille ruutjuured soovite määrata, ilusad ümardatud numbrid, millel on toredad ruudud, näiteks 400. Sellistel juhtudel ei pruugi olla võimalik saada vastuseks tervet numbrit. Selle asemel saate kõiki leitud võimsustegureid kasutades määrata vastuse väiksema, hõlpsamini kasutatava ruutjuurena. Seda tehes vähendate arvu võimsustegurite ja muude tegurite kombinatsiooniks ning seejärel lihtsustate seda.
   • Võtame näiteks ruutjuure 147. 147 ei ole kahe täiusliku ruudu korrutis, nii et me ei saa kena täisarvu. Kuid see on täiusliku ruudu ja teise numbri korrutis - 49 ja 3. Selle teabe abil saame vastuse kirjutada kõige lihtsamalt:
     • Ruut (147)
     • = Ruut (49 × 3)
     • = Ruut (49) × ruut (3)
     • = 7 × ruut (3)
4. Vajadusel lihtsustage. Ruutjuuri kõige lihtsamates tingimustes kasutades on tavaliselt üsna lihtne saada vastuse ligikaudne hinnang, hinnates järelejäänud ruutjuured ja korrutades need. Üks võimalus oma oletusi parandada on leida täiuslikud ruudud oma ruutjuure numbri mõlemalt küljelt. Teate, et teie ruutjuure arvu kümnendarv on kuskil nende kahe numbri vahel, nii et teie arvamus peab olema ka nende arvude vahel.
   • Naaseme oma näite juurde. Kuna 2 = 4 ja 1 = 1, teame, et Sqrt (3) on vahemikus 1 kuni 2 - tõenäoliselt lähemal 2-le kui 1. Arvame, et 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Kui kontrollime seda kalkulaatoriga, näeme, et oleme vastusele üsna lähedal: 12,13.
     • See töötab ka suuremate arvude korral. Näiteks jääb sqrt (35) umbes 5 ja 6 vahele (tõenäoliselt lähemale 6-le). 5 = 25 ja 6 = 36,35 jääb vahemikku 25–36, seega jääb ruutjuur vahemikku 5–6. Kuna 35 on veidi alla 36, ​​võime teatud kindlusega öelda, et selle ruutjuur lihtsalt on väiksem kui 6. Kalkulaatoriga kontrollimine annab meile vastuse umbes 5,92 - meil oli õigus.
5. Teise võimalusena võite esimese sammuna numbri lihtsustada kõige vähem levinud mitmekordne. Võimsustegurite otsimine pole vajalik, kui leiate hõlpsalt arvu algtegurid (tegurid, mis on samal ajal ka algarvud). Kirjutage arv kõige vähem levinud korrutistena. Seejärel otsige oma tegurite vahel algarvude paaride sobitamist. Kui leiate kaks peamist tegurit, mis sobivad, eemaldage need ruutjuurelt ja asetage a neist numbritest väljaspool ruutjuure märki.
   • Näiteks määrame selle meetodi abil ruutjuure 45-st. Me teame, et 45 = 9 × 5 ja see 9 = 3 × 3. Seega võime ruutjuure kirjutada järgmiselt: Sqrt (3 × 3 × 5). Lihtsustatud ruutjuure saamiseks kustutage lihtsalt kolm ja asetage ruut väljapoole ruutjuuri: (3) Sqrt (5). Nüüd saate hõlpsalt hinnata.
   • Viimane näide; määrame ruutjuure 88:
     • Ruut (88)
     • = Ruut (2 × 44)
     • = Ruut (2 × 4 × 11)
     • = Ruut (2 × 2 × 2 × 11). Meie ruutjuuris on mitu 2-d. Kuna 2 on peamine, võime paari eemaldada ja asetada 2 juurest väljapoole.
     • = Meie ruutjuur kõige lihtsamalt öeldes on (2) Sqrt (2 × 11) või (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Nüüd saame soovi korral läheneda Sqrt (2) ja Sqrt (11) ning leida ligikaudse vastuse.

2. meetod 2-st: ruutjuurte leidmine ilma kalkulaatorita

Pika jagunemisega

1. Jagage oma numbri paarid. See meetod sarnaneb pika jaotusega, mis võimaldab teil jagada täpne numbri ruutjuur numbri järgi. Kuigi see pole hädavajalik, võib numbri jagamine toimivaks tükiks lahendamise hõlbustada, eriti kui see on pikk. Kõigepealt tõmmake vertikaalne joon, mis jagab tööpiirkonna kaheks alaks, seejärel lühem joon parempoolse ala ülaosa lähedal, jagades selle väiksemaks ülaosaks ja suuremaks osaks allpool. Seejärel jagage number arvupaaridesse, alustades kümnendkohast. Selle reegli kohaselt saab 79520789182.47897 nimeks "7 95 20 78 91 82.47 89 70". Kirjutage see number vasakusse ülanurka.
   • Näiteks arvutame ruutjuure 780,14. Jagage oma tööruum ülaltoodud viisil ja kirjutage vasakusse ülanurka "7 80, 14". Pole midagi, kui vasakpoolses servas on ainult üks number kahe asemel. Seejärel kirjutate vastuse (ruutjuur 780,14) õige ala ülaossa.
2. Leidke suurim täisarv n mille ruut on väiksem või võrdne vasakpoolseima numbri või numbriga. Leidke suurim ruut, mis on sellest arvust väiksem või sellega võrdne, ja leidke siis selle ruudu ruutjuur. See number on n. Kirjutage see ülemisse parempoolsesse piirkonda ja kirjutage ruudu n selle ala alumisse kvadranti.
   • Meie näites on kõige vasakpoolsem number number 7. Kuna me teame, et 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, võime öelda, et n = 2, kuna see on suurim täisarv, mille ruut on väiksem või võrdne 7. Kirjutage paremasse ülemisse ruutu 2. See on vastuse esimene number. Kirjutage paremasse alumisse kvadranti 4 (ruut 2). See number on järgmise sammu jaoks oluline.
3. Lahutage arvutatud arv vasakpoolsest numbrist või numbrist. Nagu pika jagamise puhul, on järgmine samm ruut, mis lahutatakse arvust, mida just arvutamiseks kasutasime. Kirjutage see number kõige vasakpoolsema numbri alla ja lahutage need. Kirjutage vastus allpool.
   • Meie näites kirjutame 4 alla 7 ja lahutame selle. See annab 3 vastuseks.
4. Järgmise numbri liigutamine alla. Asetage see eelmises redigeerimises leitud väärtuse kõrvale. Korrutage paremas ülaosas olev number kahega ja kirjutage see paremasse alaossa üles. Jäta tühi numbri juurde, mille äsja üles kirjutasite, summa jaoks, mille teete järgmises etapis. Kirjutage siia "_ × _ =" ".
   • Meie näites on järgmine number "80". Kirjutage vasakpoolsesse kvadrandisse kolme juurde "80". Seejärel korrutage paremas ülaosas olev arv 2-ga. See number on 2, seega 2 × 2 = 4. Kirjutage paremas alanurgas kiri "4", millele järgneb _×_=.
5. Sisestage paremal olevad numbrid. Sisestage summa tühjale kohale (paremal) suurim täisarv, mis muudab paremal oleva korrutussumma tulemuse vasakul oleva arvu väiksemaks või sellega võrdseks.
   • Meie näites sisestame 8 ja see annab 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. See on suurem kui 380. Nii et 8 on liiga suur, kuid 7 tõenäoliselt mitte. Täitke 7 ja lahendage: 4 (7) × 7 = 329. 7 on hea, sest 329 on väiksem kui 380. Kirjutage paremasse ülaossa 7. See on 780,14 ruutjuure teine ​​number.
6. Lahutage vasakult praegusest arvust äsja arvutatud number. Nii lahutate vasakul olevast vastusest paremal oleva korrutise tulemuse. Kirjutage oma vastus otse selle alla.
   • Meie näites lahutame 380-st 329 ja see annab 51 tulemusena.
7. Korrake 4. toimingut. Liigutage järgmine numbripaar alates 780.14. Kui jõuate koma juurde, kirjutage see koma paremasse vastusesse. Seejärel korrutage ülemine parempoolne arv 2-ga ja kirjutage vastus ("_ × _") kõrvale nagu ülalpool.
   • Oma vastuses kirjutame nüüd koma, sest seda kohtame ka punktis 780.14. Liigutage järgmine paar (14) vasakust kvadrandist alla. 27 x 2 = 54, seega kirjutame paremasse alumisse kvadranti "54 _ × _ =".
8. Korrake samme 5 ja 6. Leidke suurim arv, mis annab vastuse, mis on väiksem või võrdne vasakpoolse praeguse numbriga. Lahenda.
   • Meie näites on 549 × 9 = 4941, mis on väiksem või võrdne vasakul oleva arvuga (5114). 549 × 10 = 5490, mis on liiga kõrge, seega 9 on meie vastus. Kirjutage järgmise ülemise parempoolse numbrina 9 ja lahutage vasakult arvult korrutise tulemus: 5114 -4941 = 173.
9. Tulemuse täpseks muutmiseks korrake eelmist protseduuri, kuni leiate vastuse vajalike kümnendkohtade (sajandikud, tuhandikud) arvuga.

Mõistke protseduuri

1. Arvestage ruutu pindalaga S arvu, mille ruutjuure soovite arvutada. Kuna ruudu pindala on L, kus L on selle ühe külje pikkus, proovite oma numbri ruutjuure leidmisega arvutada selle ruudu külje pikkus L.
2. Andke oma vastuse igale numbrile täht. Sisestage muutuja A L-i esimese numbrina (ruutjuur, mida proovime arvutada). B on teine ​​number, C kolmas jne.
3. Andke täht igale numbripaarile, millest alustate. Andke muutuja S_a esimese numbripaarini S-s (algväärtus), S._b teisele numbripaarile jne.
4. Mõista selle meetodi ja pika jagunemise suhet. See ruutjuure leidmise meetod on sisuliselt pikk jaotus, kus jagate algväärtuse selle ruutjuurega ja "annate" vastuseks ruutjuure. Nagu pika jagamise puhul, kus teid huvitavad korraga ainult järgmised numbrid, huvitavad teid korraga ainult kaks järgmist numbrit (mis vastavad ruutjuure järgmisele numbrile).
5. Leidke suurim arv, mille ruut on väiksem või võrdne S-ga._a on. Meie vastuse esimene number A on siis suurim täisarv, mille ruut ei ole suurem kui S._a (A selline, et A² ≤ Sa (A + 1) ²). Meie näites on S_a = 7 ja 2² ≤ 7 3², seega A = 2.
   • Pange tähele, et kui jagate 88962 7-ga, kasutades pikka jagamist, on esimene samm võrdne: kõigepealt tegelete 88962 (8) esimese numbriga ja soovite, et suurim arv korrutataks 7-ga, mis on väiksem või võrdne 8. Põhimõtteliselt määrata d selline, et 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). Sel juhul on d võrdne 1-ga.
6. Visualiseerige ruut, mille ala soovite leida. Teie vastus, algväärtuse ruutjuur, on L, mis kirjeldab pindalaga S (algväärtus) ruudu pikkust. A, B ja C väärtused tähistavad väärtuse L numbreid. Teine võimalus seda öelda on see, et 2-kohalise vastuse korral 10A + B = L ja 3-kohalise vastuse korral 100A + 10B + C = L ja nii edasi.
   • Meie näites (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B2. Pidage meeles, et 10A + B tähistab meie vastust L koos B-ga üksuste positsioonis ja A kümnete positsioonis. Näiteks kui A = 1 ja B = 2, siis 10A + B on arv 12. (10A + B) 2 on kogu väljaku pindala, samas 100A² on suurima sisemise väljaku pindala, B² on väikseima ruudu pindala ja 10A × B on kõigi ülejäänud ristkülikute pindala. Selle pika ja keeruka protseduuri abil saame leida kogu ruudu ala, liites ruutude ja ristkülikute alad, mis on selle osa.
7. Lahutage S² S-st._a. Võtke paar numbrit (S._b) allpool numbrit S. S._a S._b on peaaegu kogu ruudu pindala, millest lahutasite just suurima sisemise väljaku ala. Ülejäänud on näiteks arv N1, mille saime etapis 4 (N1 = meie näites 380). N1 võrdub 2 × 10A × B + B² (2 ristküliku pindala pluss väikese ruudu pindala).
8. Vaadake N1 = 2 × 10A × B + B², mis on kirjutatud ka N1 = (2 × 10A + B) × B. Meie näites teate juba N1 (380) ja A (2), nii et nüüd peate leidma B. B pole ilmselt täisarv, nii et peate seda tegema tegelikult leida suurim täisarv B, nii et (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Nüüd on teil: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Lahendage võrrand. Selle võrrandi lahendamiseks korrutage A kahega, nihutage see kümnele (korrutage 10-ga), pange B ühikutesse ja korrutage tulemus B. Teisisõnu (2 × 10A + B) × B. See on täpselt, mida teete, kui kirjutate 4. etapis paremasse alumisse kvadranti "N_ × _ =" (koos N = 2 × A). 5. etapis määrate suurima täisarvu B, mis sobib joone alla, seega + B) × B ≤ N1.
10. Lahutage pindala (2 × 10A + B) × B kogu pindalast. See annab ala S- (10A + B) ², mida te pole veel arvesse võtnud (ja mida kasutate järgmiste arvude arvutamiseks samal viisil).
11. Järgmise numbri C arvutamiseks korrake protseduuri. Liigutage järgmine numbripaar S-st alla (S_c), et saada N2 vasakule, ja otsige suurimat C, et teil oleks nüüd: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (võrdne kahekohalise kahekohalise arvuga "AB") poolt "_ × _ =" Määrake nüüd suurim arv, mille saate siia sisestada, mis annab teile vastuse, mis on väiksem või võrdne N2.

Näpunäited

• Koma kahe koha võrra (koefitsient 100) nihutades liigutatakse koma vastavas ruutjuuris ühe koha võrra (tegur 10).
• Selles näites võib 1,73 pidada "jäägiks": 780,14 = 27,9² + 1,73.
• See meetod sobib mis tahes arvusüsteemi, mitte ainult kümnendsüsteemi (kümnendkoha) jaoks.
• Pange arvutused julgelt sinna, kuhu soovite. Mõned inimesed kirjutavad selle numbri kohale, mille ruutjuure arvutada soovitakse.
• Alternatiivne meetod on järgmine: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Näiteks ruutjuure 780,14 arvutamiseks võtke täisarv, mille ruut on kõige lähemal 780,14 (28), seega = 780,14, x = 28 ja y = -3,86. Täitmine ja hindamine annab meile x + y / (2x) ja see annab (lihtsustatud terminid) 78207/2800 või umbes 27.931 (1); järgmine termin 4374188/156607 või umbes 27.930986 (5). Iga termin lisab eelmisele umbes kolm kümnendkoha täpsust.

Hoiatused

• Jagage number paarid kümnendkohast kindlasti. Jagades 79520789182.47897 nimega "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "annab vale tulemuse.