Sisu

• Sammud

Trigonomeetriline võrrand sisaldab muutuja "x" (või mis tahes muu muutuja) ühte või mitut trigonomeetrilist funktsiooni. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine on sellise väärtuse "x" leidmine, mis rahuldab funktsiooni (d) ja võrrandi tervikuna.

• Lahendused trigonomeetrilistele võrranditele on väljendatud kraadides või radiaanides. Näited:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 kraadi; x = 37,12 kraadi; x = 178,37 kraadi.

• Märkus: trigonomeetriliste funktsioonide väärtused nurkades, väljendatuna radiaanides ja nurkades, väljendatuna kraadides, on võrdsed. Ühega võrdse raadiusega trigonomeetrilist ringi kasutatakse trigonomeetriliste funktsioonide kirjeldamiseks, samuti trigonomeetriliste põhivõrrandite ja ebavõrdsuste lahenduse õigsuse kontrollimiseks.
• Näited trigonomeetrilistest võrranditest:
  • patt x + patt 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Trigonomeetriline ring, mille raadius on üks (ringühik).
   • See on ring, mille raadius on võrdne ühega ja keskpunkt punktis O. Ühikring kirjeldab muutuja "x" 4 põhilist trigonomeetrilist funktsiooni, kus "x" on X -telje positiivsest suunast vastupäeva mõõdetud nurk.
   • Kui "x" on ühiku ringil mõni nurk, siis:
   • Horisontaaltelg OAx määratleb funktsiooni F (x) = cos x.
   • Vertikaaltelg OBy määratleb funktsiooni F (x) = sin x.
   • Vertikaaltelg AT määratleb funktsiooni F (x) = tan x.
   • Horisontaaltelg BU määratleb funktsiooni F (x) = ctg x.

• Ühikringi kasutatakse ka trigonomeetriliste põhivõrrandite ja ebavõrdsuste lahendamiseks (sellel võetakse arvesse "x" erinevaid positsioone).

Sammud

1. 1 Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise mõiste.
   • Trigonomeetrilise võrrandi lahendamiseks teisendage see üheks või mitmeks põhiliseks trigonomeetriliseks võrrandiks. Trigonomeetrilise võrrandi lahendamine taandub lõpuks nelja põhilise trigonomeetrilise võrrandi lahendamisele.
2. 2 Põhiliste trigonomeetriliste võrrandite lahendamine.
   • Trigonomeetrilisi põhivõrrandeid on 4 tüüpi:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Põhiliste trigonomeetriliste võrrandite lahendamine hõlmab ühiku ringi erinevate x -positsioonide vaatamist ja teisendustabeli (või kalkulaatori) kasutamist.
   • Näide 1.sin x = 0,866. Konversioonitabelit (või kalkulaatorit) kasutades saate vastuse: x = π / 3. Ühikring annab veel ühe vastuse: 2π / 3. Pidage meeles: kõik trigonomeetrilised funktsioonid on perioodilised, see tähendab, et nende väärtusi korratakse. Näiteks sin x ja cos x perioodilisus on 2πn ning tg x ja ctg x perioodilisus on πn. Seetõttu on vastus kirjutatud järgmiselt:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Näide 2.cos x = -1/2. Konversioonitabelit (või kalkulaatorit) kasutades saate vastuse: x = 2π / 3. Ühikring annab teise vastuse: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Näide 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Vastus: x = π / 4 + πn.
   • Näide 4. ctg 2x = 1,732.
   • Vastus: x = π / 12 + πn.
3. 3 Teisendused, mida kasutatakse trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.
   • Trigonomeetriliste võrrandite teisendamiseks kasutatakse algebralisi teisendusi (faktoriseerimine, homogeensete terminite vähendamine jne) ja trigonomeetrilisi identiteete.
   • Näide 5. Kasutades trigonomeetrilisi identiteete, muudetakse võrrand sin x + sin 2x + sin 3x = 0 võrrandiks 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Seega peate lahendage järgmised trigonomeetrilised põhivõrrandid: cos x = 0; patt (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Nurkade leidmine funktsioonide teadaolevatest väärtustest.
   • Enne trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite õppimist peate õppima, kuidas leida funktsioonide teadaolevatest väärtustest nurki. Seda saab teha konversioonitabeli või kalkulaatori abil.
   • Näide: cos x = 0,732. Kalkulaator annab vastuse x = 42,95 kraadi. Ühikring annab täiendavaid nurki, mille koosinus on samuti 0,732.
5. 5 Asetage lahus ühiku ringile kõrvale.
   • Lahendusi saab edasi lükata ühikuringi trigonomeetrilisele võrrandile. Ühikringi trigonomeetrilise võrrandi lahendid on tavalise hulknurga tipud.
   • Näide: Lahendid x = π / 3 + πn / 2 ühiku ringil on ruudu tipud.
   • Näide: Lahendid x = π / 4 + πn / 3 ühiku ringil tähistavad korrapärase kuusnurga tippe.
6. 6 Meetodid trigonomeetriliste võrrandite lahendamiseks.
   • Kui antud trig -võrrand sisaldab ainult ühte trig -funktsiooni, lahendage see võrrand kui trig -i põhivõrrand.Kui antud võrrand sisaldab kahte või enamat trigonomeetrilist funktsiooni, siis on sellise võrrandi lahendamiseks 2 meetodit (sõltuvalt selle teisendamise võimalusest).
     • 1. meetod.
   • Teisendage see võrrand vormi võrrandiks: f (x) * g (x) * h (x) = 0, kus f (x), g (x), h (x) on trigonomeetrilised põhivõrrandid.
     
     
   • Näide 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Lahendus. Kasutades topeltnurga valemit sin 2x = 2 * sin x * cos x, asendage sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Nüüd lahendage kaks põhilist trigonomeetrilist võrrandit: cos x = 0 ja (sin x + 1) = 0.
   • Näide 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Lahendus. Teisendage trigonomeetriliste identiteetide abil see võrrand kujul: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Nüüd lahendage kaks põhilist trigonomeetrilist võrrandit: cos 2x = 0 ja (2cos x + 1) = 0.
   • Näide 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Lahendus: muutke trigonomeetriliste identiteetide abil see võrrand järgmise vormi võrrandiks: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Nüüd lahendage kaks põhilist trigonomeetrilist võrrandit: cos 2x = 0 ja (2sin x + 1) = 0.
     • 2. meetod.
   • Teisendage antud trigonomeetriline võrrand võrrandiks, mis sisaldab ainult ühte trigonomeetrilist funktsiooni. Seejärel asendage see trigonomeetriline funktsioon mõne tundmatuga, näiteks t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t jne).
   • Näide 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Lahendus. Selles võrrandis asendage (cos ^ 2 x) (1 - sin ^ 2 x) (identiteediga). Teisendatud võrrand on järgmine:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Asenda sin x tähega t. Võrrand näeb nüüd välja selline: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. See on ruutvõrrand, millel on kaks juurt: t1 = -1 ja t2 = 9/5. Teine juur t2 ei vasta funktsiooni väärtuste vahemikule (-1 sin x 1). Nüüd otsustage: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Näide 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Lahendus. Asenda tg x tähega t. Kirjutage algne võrrand ümber järgmiselt: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Nüüd leidke t ja leidke t = tg x jaoks x.
7. 7 Spetsiaalsed trigonomeetrilised võrrandid.
   • On mitmeid spetsiaalseid trigonomeetrilisi võrrandeid, mis nõuavad spetsiifilisi teisendusi. Näited:
   • a * patt x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Trigonomeetriliste funktsioonide perioodilisus.
   • Nagu varem mainitud, on kõik trigonomeetrilised funktsioonid perioodilised, st nende väärtusi korratakse teatud aja möödudes. Näited:
     • Funktsiooni f (x) = sin x periood on 2π.
     • Funktsiooni f (x) = tan x periood on võrdne π -ga.
     • Funktsiooni f (x) = sin 2x periood on π.
     • Funktsiooni f (x) = cos (x / 2) periood on 4π.
   • Kui ülesandes on määratud periood, arvutage selle aja jooksul väärtus "x".
   • Märkus: trigonomeetriliste võrrandite lahendamine pole lihtne ülesanne ja põhjustab sageli vigu. Nii et kontrollige oma vastuseid hoolikalt. Selleks saate graafiku kalkulaatoriga joonistada antud võrrandi R (x) = 0. Sellistel juhtudel esitatakse lahendid kümnendmurdudena (st π asendatakse väärtusega 3.14).