Sisu

• Esialgne teave
• Sammud
• Osa 1 /3: Põhitõed
• Osa 2 /3: Laplace'i teisenduse omadused
• Osa 3 /3: Laplace'i teisendi leidmine seerialaiendite kaupa

Laplace'i teisendus on lahutamatu teisendus, mida kasutatakse konstantsete koefitsientidega diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Seda ümberkujundamist kasutatakse laialdaselt füüsikas ja inseneriteaduses.

Kuigi saate kasutada sobivaid tabeleid, on kasulik mõista Laplace'i teisendust, et saaksite seda vajadusel ise teha.

Esialgne teave

• Antud funktsioon ${ displaystyle f (t)}$jaoks määratletud ${ displaystyle t geq 0.}$ Siis Laplace'i teisendus funktsiooni ${ displaystyle f (t)}$ on iga väärtuse järgmine funktsioon ${ displaystyle s}$, mille juures integraal läheneb:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Laplace'i teisendus võtab funktsiooni t-piirkonnast (ajaskaala) s-piirkonda (teisenduspiirkond), kus ${ displaystyle F (s)}$ on keeruka muutuja keeruline funktsioon. See võimaldab teil funktsiooni teisaldada piirkonda, kus on lihtsam lahendus leida.
• Ilmselgelt on Laplace'i teisendus lineaarne operaator, nii et kui tegemist on tingimuste summaga, saab iga integraali eraldi arvutada.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Pidage meeles, et Laplace'i teisendus töötab ainult siis, kui integraal läheneb. Kui funktsioon ${ displaystyle f (t)}$ millel on katkestusi, on ebakindluse vältimiseks vaja olla ettevaatlik ja õigesti seada integratsiooni piirid.

Sammud

Osa 1 /3: Põhitõed

1. 1 Asendage funktsioon Laplace'i teisendusvalemiga. Teoreetiliselt on funktsiooni Laplace'i teisendust väga lihtne arvutada. Näiteks kaaluge funktsiooni ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, kus ${ displaystyle a}$ on keeruline konstant koos ${ displaystyle operatsiooninimi {Re} (d) operatsiooninimi {Re} (a)}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Hinnake integraali olemasolevate meetodite abil. Meie näites on hinnang väga lihtne ja saate lihtsate arvutustega hakkama. Keerulisematel juhtudel võib osutuda vajalikuks keerukamad meetodid, näiteks osade kaupa integreerimine või integraalmärgi all eristamine. Piirav tingimus ${ displaystyle operatsiooninimi {Re} (d) operatsiooninimi {Re} (a)}$ tähendab, et integraal läheneb, st selle väärtus kipub olema 0 kui ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} lõpp {joondatud}}}$
   • Pange tähele, et see annab meile kahte tüüpi Laplace'i teisendusi, siinuse ja koosinusega, kuna vastavalt Euleri valemile ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Sel juhul saame nimetaja ${ displaystyle s-ia,}$ ja jääb vaid kindlaks teha tegelikud ja kujuteldavad osad. Saate tulemust ka otse hinnata, kuid see võtaks veidi kauem aega.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatsiooninimi {Re} vasakule ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatsiooninimi {Im} vasakule ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Mõelge võimsusfunktsiooni Laplace'i teisendusele. Esiteks peate määratlema võimsusfunktsiooni teisendamise, kuna lineaarsuse omadus võimaldab teil leida teisenduse kõigist polünoomid. Vormi funktsioon ${ displaystyle t ^ {n},}$ kus ${ displaystyle n}$ - mis tahes positiivne täisarv. Võib integreerida tükkhaaval, et määratleda rekursiivne reegel.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { matemaatika {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Seda tulemust väljendatakse kaudselt, kuid kui asendate mitu väärtust ${ displaystyle n,}$ saate luua teatud mustri (proovige seda ise teha), mis võimaldab teil saada järgmise tulemuse:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Samuti saate gammafunktsiooni abil määrata murdosa võimsuste Laplace'i teisenduse. Näiteks saate sel viisil leida sellise funktsiooni teisendamise nagu ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { ruut {{pi}} {2 sekundit { sqrt {s}}}}}$
   • Kuigi murdvõimsusega funktsioonidel peavad olema kärped (pidage meeles, et kõik keerulised numbrid ${ displaystyle z}$ ja ${ displaystyle alpha}$ võib kirjutada kui ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, sest ${ displaystyle e ^ { alfa operatsiooninimi {Log} z}}$), saab neid alati määratleda nii, et jaotustükid asetsevad vasakpoolsel tasapinnal ja väldivad seega analüütilisi probleeme.

Osa 2 /3: Laplace'i teisenduse omadused

1. 1 Leiame funktsiooni Laplace'i teisenduse korrutatuna eat{ displaystyle e ^ {at}}. Eelmises osas saadud tulemused võimaldasid meil teada saada Laplace'i teisenduse huvitavaid omadusi. Selliste funktsioonide nagu koosinus, siinus ja eksponentsiaalfunktsioon Laplace'i teisendus tundub olevat lihtsam kui võimsusfunktsiooni teisendus. Korrutamine ${ displaystyle e ^ {at}}$ t-piirkonnas vastab vahetus s-piirkonnas:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • See omadus võimaldab teil kohe leida selliste funktsioonide muundamise nagu ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, ilma integraali arvutamata:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Leiame funktsiooni Laplace'i teisenduse korrutatuna tn{ displaystyle t ^ {n}}. Esiteks kaaluge korrutamist ${ displaystyle t}$... Definitsiooni järgi saab funktsiooni integraali all eristada ja saada üllatavalt lihtsa tulemuse:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { osaline {{osaline}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} lõpp {joondatud}}}$
   • Seda toimingut korrates saame lõpptulemuse:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Kuigi integratsiooni ja diferentseerimise operaatorite ümberkorraldamine nõuab mõningaid täiendavaid põhjendusi, ei esita me seda siin, vaid paneme tähele, et see toiming on õige, kui lõpptulemus on mõttekas. Võite arvestada ka asjaoluga, et muutujad ${ displaystyle s}$ ja ${ displaystyle t}$ ei sõltu üksteisest.
   • Seda reeglit kasutades on lihtne leida selliste funktsioonide muundamist nagu ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, ilma osade kaupa uuesti integreerimata:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Leidke funktsiooni Laplace'i teisendus f(at){ displaystyle f (at)}. Seda saab hõlpsalt teha, asendades muutuja u abil, kasutades teisenduse definitsiooni:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F vasak ({ frac {s} {a}} parem) lõpp {joondatud}}}$
   • Eespool leidsime funktsioonide Laplace'i teisenduse ${ displaystyle sin at}$ ja ${ displaystyle cos at}$ otse eksponentsiaalfunktsioonist. Seda omadust kasutades saate sama tulemuse, kui leiate tegelikud ja kujuteldavad osad ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Leidke tuletise Laplace'i teisendus f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Erinevalt eelmistest näidetest, antud juhul vaja teha integreerida tükkhaaval:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Suur _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) lõpp {joondatud}}}$
   • Kuna teine ​​tuletis esineb paljudes füüsilistes probleemides, leiame ka selle jaoks Laplace'i teisenduse:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Üldjuhul määratletakse n -järku tuletise Laplace'i teisendus järgmiselt (see võimaldab lahendada diferentsiaalvõrrandeid Laplace'i teisenduse abil):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - summa _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Osa 3 /3: Laplace'i teisendi leidmine seerialaiendite kaupa

1. 1 Leidkem perioodilise funktsiooni jaoks Laplace'i teisendus. Perioodiline funktsioon vastab tingimustele ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ kus ${ displaystyle T}$ on funktsiooni periood ja ${ displaystyle n}$ on positiivne täisarv. Perioodilisi funktsioone kasutatakse laialdaselt paljudes rakendustes, sealhulgas signaalitöötluses ja elektrotehnikas. Kasutades lihtsaid teisendusi, saame järgmise tulemuse:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = summa _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { joondatud}}}$
   • Nagu näete, piisab perioodilise funktsiooni korral Laplace'i teisenduse teostamisest ühe perioodi jooksul.
2. 2 Tehke Laplace'i teisendus loodusliku logaritmi jaoks. Sel juhul ei saa integraali väljendada elementaarsete funktsioonidena. Gammafunktsiooni ja selle seeria laiendamise kasutamine võimaldab teil hinnata loomulikku logaritmi ja selle kraadi. Euler-Mascheroni konstandi olemasolu ${ displaystyle gamma}$ näitab, et selle integraali hindamiseks on vaja kasutada seerialaiendit.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Mõelge normaliseerimata sinc -funktsiooni Laplace'i teisendusele. Funktsioon ${ displaystyle operatsiooninimi {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ kasutatakse laialdaselt signaalitöötlemiseks, diferentsiaalvõrrandites on see samaväärne esimese tüüpi sfäärilise Besseli funktsiooniga ja nulljärku ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Selle funktsiooni Laplace'i teisendust ei saa ka standardmeetoditega arvutada. Sel juhul viiakse läbi rea üksikute liikmete teisendamine, mis on võimsusfunktsioonid, nii et nende teisendused lähenevad tingimata teatud ajavahemiku järel.
   • Esiteks kirjutame funktsiooni laiendamise Taylori seeriasse:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = summa _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Nüüd kasutame võimsusfunktsiooni juba tuntud Laplace'i teisendust. Faktooriad tühistatakse ja selle tulemusel saame arktangenti jaoks Taylori laiendi, see tähendab vahelduva seeria, mis sarnaneb siinuse Taylori seeriaga, kuid ilma faktoriaalideta:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = summa _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = summa _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} lõpp {joondatud}}}$